Page 227 - Handbook Of Integral Equations

∞ y(t)

34. dt = f(x), 0 < λ <1.
–∞ |x – t| 1–λ
Solution:
λ πλ ∞ f(x) – f(t)
y(x)= tan dt.
2π 2 |x – t| 1+λ
–∞
∞ p

It assumed that the condition |f(x)| dx < ∞ is satisfied for some p,1 < p <1/λ.
–∞
•
Reference: S. G. Samko, A. A. Kilbas, and A. A. Marichev (1993).
∞
y(t)

35. dt = f(x), 0 < λ <1.
–∞ |x – t| 1–λ
3
3
The substitution z = x leads to an equation of the form 3.1.34:
∞

y(t) 1/3
|z – t| 1–λ dt = f z .
–∞

∞ y(t)
36. dt = f(x), 0 < λ <1.
–∞ |x – t |
3
3 1–λ
The transformation
3
3
z = x , τ = t , w(τ)= τ –2/3 y(t)
leads to an equation of the form 3.1.34:
∞
w(τ) 1/3

|z – τ| 1–λ dτ = F(z), F(z)=3f z .
–∞
∞ sign(x – t)

37. y(t) dt = f(x), 0 < λ <1.
–∞ |x – t| 1–λ
Solution:
λ πλ ∞ f(x) – f(t)
y(x)= cot sign(x – t) dt.
2π 2 |x – t| 1+λ
–∞
•
Reference: S. G. Samko, A. A. Kilbas, and A. A. Marichev (1993).
∞ a + b sign(x – t)

38. 1–λ y(t) dt = f(x), 0 < λ <1.
–∞ |x – t|
Solution:
λ sin(πλ) ∞ a + b sign(x – t)
y(x)= f(x) – f(t) dt.
2
2
4π a cos 2 1 πλ + b sin 2 1 πλ |x – t| 1+λ
2 2 –∞
•
Reference: S. G. Samko, A. A. Kilbas, and A. A. Marichev (1993).
∞ y(t) dt

39. = f(x), a >0, b >0, k >0.
(ax + bt) k
0
By setting
1 2z 1 2τ (k–2)τ –kz
x = e , t = e , y(t)= be w(τ), f(x)= e g(z).
2a 2b
we obtain an integral equation with the difference kernel of the form 3.8.15:
w(τ) dτ

∞
= g(z).
k
–∞ cosh (z – τ)
© 1998 by CRC Press LLC

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