Page 7 - INTRODUCTION TO THE CALCULUS OF VARIATIONS

vi CONTENTS

2.6 Fields theories . ........ ........ ....... .... 72
2.6.1 Exercises ........ ........ ....... .... 77

3 Direct methods 79
3.1 Introduction ... ........ ........ ....... .... 79
3.2 The model case: Dirichlet integral ...... ....... .... 81
3.2.1 Exercises ........ ........ ....... .... 84
3.3 A general existence theorem .. ........ ....... .... 84
3.3.1 Exercises ........ ........ ....... .... 91
3.4 Euler-Lagrange equations ... ........ ....... .... 92
3.4.1 Exercises ........ ........ ....... .... 97
3.5 The vectorial case ....... ........ ....... .... 98
3.5.1 Exercises ........ ........ ....... .... 105
3.6 Relaxation theory ........ ........ ....... .... 107
3.6.1 Exercises ........ ........ ....... .... 110

4Regularity 111
4.1 Introduction ... ........ ........ ....... .... 111
4.2 The one dimensional case ... ........ ....... .... 112
4.2.1 Exercises ........ ........ ....... .... 116
4.3 The model case: Dirichlet integral ...... ....... .... 117
4.3.1 Exercises ........ ........ ....... .... 123
4.4 Some general results ...... ........ ....... .... 124

5 Minimal surfaces 127
5.1 Introduction ... ........ ........ ....... .... 127
5.2 Generalities about surfaces .. ........ ....... .... 130
5.2.1 Exercises ........ ........ ....... .... 138
5.3 The Douglas-Courant-Tonelli method ..... ....... .... 139
5.3.1 Exercises ........ ........ ....... .... 145
5.4 Regularity, uniqueness and non uniqueness .. ....... .... 145
5.5 Nonparametric minimal surfaces ....... ....... .... 146
5.5.1 Exercises ........ ........ ....... .... 151

6 Isoperimetric inequality 153
6.1 Introduction ... ........ ........ ....... .... 153
6.2 The case of dimension 2 .... ........ ....... .... 154
6.2.1 Exercises ........ ........ ....... .... 160
6.3 The case of dimension n .... ........ ....... .... 160
6.3.1 Exercises ........ ........ ....... .... 168