Page 458 - Handbook Of Integral Equations

TABLE 3
Main integral transforms

Integral Definition Inversion Formula
Transform

Laplace f(p)= ∞ e –px f(x) dx 1 c+i∞ px

transform 0 f(x)= 2πi c–i∞ e f(p) dp
Two-sided ∞ 1 c+i∞
Laplace f ∗(p)= e –px f(x) dx f(x)= e px
f ∗(p) dp

transform –∞ 2πi c–i∞
Fourier 1 ∞ –iux 1 ∞
f(u) du
f(u)= √ e f(x) dx f(x)= √ e iux

transform 2π –∞ 2π –∞

Fourier sine 2 ∞ 2 ∞

transform f s(u)= π 0 sin(xu)f(x) dx f(x)= π 0 sin(xu)f s(u) du

Fourier cosine 2 ∞ 2 ∞
f c(u)= cos(xu)f(x) dx f(x)= cos(xu)f c(u) du

transform π 0 π 0

Hartley 1 ∞ (cos xu + sin xu)f(x) dx 1 ∞ (cos xu + sin xu)f h (u) du

transform f h (u)= √ 2π –∞ f(x)= √ 2π –∞

Mellin ∞ s–1 1 c+i∞ –s

transform f(s)= x f(x) dx f(x)= 2πi x f(s) ds
0 c–i∞

Hankel f ν(w)= ∞ xJ ν(xw)f(x) dx f(x)= ∞ wJ ν(xw)f ν(w) dw

transform 0 0

∞ √ ∞ √
Y -transform F ν(u)= ux Y ν(ux)f(x) dx f(x)= ux H ν(ux)F ν(u) du
0 0
Meijer
2 ∞ √ 1 c+i∞ √
transform f(s)= sxK ν(sx)f(x) dx f(x)= √ sxI ν(sx)f(s) ds

(K-transform) π 0 i 2π c–i∞

∞

Bochner f(r)= J n/2–1 (2πxr)G(x, r)f(x) dx, ∞

transform 0 f(x)= J n/2–1 (2πrx)G(r, x)f(r) dr
G(x, r)=2πr(x/r) n/2 , n=1, 2, ... 0

∞
Weber F a(u)= W ν(xu, au)xf(x) dx, f(x)= ∞ W ν(xu, au) uF a(u) du
transform a J ν (au)+ Y ν (au)
2
2
W ν(β, µ)≡J ν(β)Y ν(µ) – J ν(µ)Y ν(β) 0
Kontorovich– ∞ 2 ∞
Lebedev F(τ)= K iτ (x)f(x) dx f(x)= 2 τ sinh(πτ)K iτ (x)F(τ) dτ
transform 0 π x 0

Meler–Fock F(τ)= ∞ (x)f(x) dx f(x)= ∞ (x)F(τ) dτ

– +iτ
transform 1 P 1 2 0 τ tanh(πτ)P 1 2
– +iτ

F(s)
Hilbert F(s)= 1 ∞ f(x) dx 1 ∞

transform* π –∞ x – s f(x)=– π –∞ s – x ds
√
Notation: i= –1, J µ(x) and Y µ(x) are the Bessel functions of the first and the second kind, respectively,
I µ(x) and K µ(x) are the modified Bessel functions of the first and the second kind, respectively, P µ(x) is the Leg-
j
∞ (–1) (x/2) µ+2j+1

endre spherical function of the second kind, and H µ(x) is the Struve function, H µ(x)=

.
j=0 Γ j + 3 2 Γ µ + j + 3 2
*REMARK. In the direct and inverse Hilbert transforms, the integrals are understood in the sense of the Cauchy principal
value.
•
References for Section 7.6: H. Bateman and A. Erd´ elyi (1954), V. A. Ditkin and A. P. Prudnikov (1965), J. W. Miles
(1971), B. Davis (1978), D. Zwillinger (1989), Yu. A. Brychkov and A. P. Prudnikov (1989), W. H. Beyer (1991).
© 1998 by CRC Press LLC
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