Page 25 - Foundations Of Differential Calculus

8 1. On Finite Differences
Then we take the differences to obtain

n n−1 n (n − 1) 2 n−2 n (n − 1) (n − 2) 3 n−3
∆y = ωx + ω x + ω x + ··· ,
1 1 · 2 1 · 2 · 3
I n n−1 n (n − 1) 2 n−2 n (n − 1) (n − 2) 3 n−3
∆y = ωx + 3ω x + 7ω x + ··· ,
1 1 · 2 1 · 2 · 3
II n n−1 n (n − 1) 2 n−2 n (n − 1) (n − 2) 3 n−3
∆y = ωx + 5ω x + 19ω x
1 1 · 2 1 · 2 · 3
+ ··· ,

III n n−1 n (n − 1) 2 n−2 n (n − 1) (n − 2) 3 n−3
∆y = ωx + 7ω x + 37ω x
1 1 · 2 1 · 2 · 3
+ ··· .

Once more we take differences to obtain

2 n−2 n (n − 1) (n − 2) 3 n−3
∆∆y = n (n − 1) ω x + 6ω x
1 · 2 · 3
n (n − 1) (n − 2) (n − 3) 4 n−4
+ 14ω x + ··· ,
1 · 2 · 3 · 4
I 2 n−2 n (n − 1) (n − 2) 3 n−3
∆∆y = n (n − 1) ω x + 12ω x
1 · 2 · 3
n (n − 1) (n − 2) (n − 3) 4 n−4
+ 50ω x + ··· ,
1 · 2 · 3 · 4
II 2 n−2 n (n − 1) (n − 2) 3 n−3
∆∆y = n (n − 1) ω x + 18ω x
1 · 2 · 3
n (n − 1) (n − 2) (n − 3) 4 n−4
+ 110ω x + ··· .]
1 · 2 · 3 · 4

From these results we use subtraction to derive

3 3 n−3 n (n − 1) (n − 2) (n − 3) 4 n−4
∆ y = n (n − 1) (n − 2) ω x + 36ω x
1 · 2 · 3 · 4
+ ··· ,

3 I 3 n−3 n (n − 1) (n − 2) (n − 3) 4 n−4
∆ y = n (n − 1) (n − 2) ω x + 60ω x
1 · 2 · 3 · 4
+ ··· .