Page 257 - Handbook Of Integral Equations

3.8-3. Equations With Difference Kernel: K(x, t)= K(x – t)

∞

n
11. K(x – t)y(t) dt = Ax , n =0, 1, 2, ...
–∞
1 . Solution with n =0:
◦
A ∞
y(x)= , B = K(x) dx.
B
–∞
◦
2 . Solution with n =1:
A AC ∞ ∞
y(x)= x + , B = K(x) dx, C = xK(x).
B B 2
–∞ –∞
◦
3 . Solution with n ≥ 2:
d Ae –λx
n λx ∞
y(x)= , B(λ)= K(x)e dx.
dλ n B(λ)
λ=0 –∞
∞

12. K(x – t)y(t) dt = Ae λx .
–∞
Solution:
A λx ∞ –λx
y(x)= e , B = K(x)e dx.
B
–∞

∞
n λx
13. K(x – t)y(t) dt = Ax e , n =1, 2, ...
–∞
1 . Solution with n =1:
◦
A λx AC λx
y(x)= xe + e ,
B B 2
∞ ∞

B = K(x)e –λx dx, C = xK(x)e –λx dx.
–∞ –∞
◦
2 . Solution with n ≥ 2:
d n Ae λx ∞ –λx
y(x)= , B(λ)= K(x)e dx.
dλ n B(λ)
–∞
∞

14. K(x – t)y(t) dt = A cos(λx)+ B sin(λx).
–∞
Solution:

AI c + BI s BI c – AI s
y(x)= cos(λx)+ sin(λx),
2
2
I + I 2 s I + I s 2
c
c
∞ ∞

I c = K(z) cos(λz) dz, I s = K(z) sin(λz) dz.
–∞ –∞
© 1998 by CRC Press LLC

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