Page 367 - Intro to Tensor Calculus

361

2
1
3
12. Confocal ellipsoidal coordinates (u, v, w)= (x ,x ,x )
2
2
2
(a − u)(a − v)(a − w) 2 2 2
2
x = , u < c <b <a
2
2
2
2
(a − b )(a − c )
2
2
2
(b − u)(b − v)(b − w)
2 2 2 2
y = , c <v <b <a
2
2
2
2
(b − a )(b − c )
2
2
2
(c − u)(c − v)(c − w)
2 2 2 2
z = , c <b <v <a
2
2
2
2
(c − a )(c − b )
(u − v)(u − w)
2
h =
1
2
2
2
4(a − u)(b − u)(c − u)
(v − u)(v − w)
2
h =
2
2
2
2
4(a − v)(b − v)(c − v)
(w − u)(w − v)
2
h =
3
2
2
2
4(a − w)(b − w)(c − w)
1 1 1 1 1 1

= + + + +
2
2
2
11 2(a − u) 2(b − u) 2(c − u) 2(u − v) 2(u − w)

2 1 1 1 1 1
= + + + +
2
2
2
22 2(a − v) 2(b − v) 2(c − v) 2(−u + v) 2(v − w)
3 1 1 1 1 1

= + + + +
2
2
2
33 2(a − w) 2(b − w) 2(c − w) 2(−u + w) 2(−v + w)
2 2 2
1 a − u b − u c − u (v − w) 1 −1
= =
2
2
2
22 2(a − v)(b − v)(c − v)(u − v)(u − w) 12 2(u − v)
1 a − u b − u c − u (−v + w) 1 −1
2 2 2
= =
2
2
2
33 2(u − v)(a − w)(b − w)(c − w)(u − w) 13 2(u − w)
2 2 2
2 a − v b − v c − v (u − w) 2 −1
= =
2
2
2
11 2(a − u)(b − u)(c − u)(−u + v)(v − w) 21 2(−u + v)
2 2 2
2 a − v b − v c − v (−u + w) 2 −1
= =
2
2
2
33 2(−u + v)(a − w)(b − w)(c − w)(v − w) 23 2(v − w)

3 (u − v) a − w b − w c − w
2 2 2 3 −1
= =
2
2
2
11 2(a − u)(b − u)(c − u)(−u + w)(−v + w) 31 2(−u + w)

2 2 2 3 −1
3 (−u + v) a − w b − w c − w =
= 32 2(−v + w)
2
2
2
22 2(a − v)(b − v)(c − v)(−u + w)(−v + w)