Page 364 - Intro to Tensor Calculus

358

3
2
1
7. Bipolar coordinates (u, v, z)=(x ,x ,x )
2 2
x = , 0 ≤ u< 2π h = h 2
a sinh v
1
cosh v − cos u 2
2
h = a
y = , −∞ <v < ∞ 2 (cosh v − cos u) 2
a sin u
cosh v − cos u 2
h =1
−∞ <z < ∞ 3
z = z
The coordinate curves are formed by the intersection of the coordinate surfaces
2
2 2 a
(x − a coth v) + y = Cylinders
2
sinh v
2
2
2
x +(y − a cot u) = a Cylinders
2
sin u
z = Constant Planes.

1 sin u 2 sinh v
= =
11 cos u − cosh v 11 − cosu +cosh v

2 sinh v 1 sinh v
= =
22 cos u − cosh v 12 cos u − cosh v

1 sin u 2 sin u
= =
22 − cos u +cosh v 21 cos u − cosh v
3
1
2
8. Conical coordinates (u, v, w)= (x ,x ,x )
2 2 2 2 2
uvw
x = , b >v >a >w , u ≥ 0 h =1
1
ab
2
2
2
r 2 2 2 2 u (v − w )
2
(v − a )(w − a ) h =
u
y = 2 (v − a )(b − v )
2
2
2
2
2 2
a a − b
2
2
2
r u (v − w )
2
2
2
2
2
(v − b )(w − b ) h =
v
z = 3 (w − a )(w − b )
2
2
2
2
2 2
b b − a
The coordinate curves are formed by the intersection of the coordinate surfaces
2 2 2 2
x + y + z = u Spheres
2 2 2
x y z
+ + Cones
2 2 2 2 2 =0,
v v − a v − b
2 2 2
+ +
x y z
2 2 2 2 2 =0, Cones.
w w − a w − b

2 v v v 3 2 2 2 2
= − + = w −a + w −b + w
2
2
2
22 b − v 2 −a + v 2 v − w 2 22 (b − v )(−a + v )(v − w )
2
2
2
2
2
2

3 w w w 2 1
= − − − =
2
2
2
33 v − w 2 −a + w 2 −b + w 2 21 u
1 u v − w 2
2 2
= − = − w
2
2
2
2
22 (b − v )(−a + v ) 23 v − w 2
2
2 2
1 u v − w 3 1
= − =
2
2
2
2
33 (−a + w )(−b + w ) 31 u
2 2 2 2
2 v b − v −a + v 3 v
= − = 2 2
2
2
2
2
2
2
33 (v − w )(−a + w )(−b + w ) 32 v − w