Page 23 - Schaum's Outline of Theory and Problems of Advanced Calculus

14 NUMBERS [CHAP. 1

s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
1 1 1 3i 6 3

1 þ 3i 6i 2

1 þ 3i 1 3i 1 9i 1 9i 10 10 5
ðgÞ ¼ 2 ¼ ¼ ð0Þ þ ¼
2
1.25. If z 1 and z 2 are two complex numbers, prove that jz 1 z 2 j¼ jz 1 jjz 2 j.
Let z 1 ¼ x 1 þ iy , z 2 ¼ x 2 þ iy 2 . Then
1
jz 1 z 2 j¼jðx 1 þ iy 1 Þðx 2 þ iy 2 Þj ¼ jx 1 x 2 y 1 y 2 þ iðx 1 y 2 þ x 2 y 1 Þj
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
1 2
1 2
2 1
¼ ðx 1 x 2 y 1 y 2 Þ þðx 1 y 2 þ x 2 y 1 Þ ¼ x x þ y y þ x y þ x y
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiq
2
2 2 2 2 x þ y 2 x þ y ¼jx 1 þ iy 1 jjx 2 þ iy 2 j¼jz 1 jjz 2 j:
2
2
1 1 2 2 1 2 2
¼ ðx þ y Þðx þ y Þ ¼
3
1.26. Solve x 2x 4 ¼ 0.
The possible rational roots using Problem 1.7 are 1, 2, 4. By trial we find x ¼ 2isaroot. Then
2
the given equation can be written ðx 2Þðx þ 2x þ 2Þ¼ 0. The solutions to the quadratic equation
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p 2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b 4ac 4 8
2 b 2
ax þ bx þ c ¼ 0are x ¼ . For a ¼ 1, b ¼ 2, c ¼ 2this gives x ¼ ¼
2a 2
ffiffiffiffiffiffiffi
p
4 2 2i
¼ 1 i.
2
2 ¼ 2
The set of solutions is 2, 1 þ i, 1 i.
POLAR FORM OF COMPLEX NUMBERS
ffiffiffi ffiffiffi
p p
1.27. Express in polar form (a)3 þ 3i,(b) 1 þ 3i,(c) 1, (d) 2 2 3i. See Fig. 1-4.
_ 240
2
2
3√2 3 √3
_
180 2√3
120
4
45
_ _
3 1 1
(a) (b) (c) (d)
Fig. 1-4
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffi
2 2
(a) Amplitude ¼ 458 ¼ =4radians. Modulus ¼ 3 þ 3 ¼ 3 2. Then 3 þ 3i ¼ ðcos þ i sin Þ¼
p ffiffiffi p ffiffiffi p ffiffiffi i=4
3 2ðcos =4 þ i sin =4Þ¼ 3 2 cis =4 ¼ 3 2e
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 p ffiffiffi 2 p ffiffiffi p ffiffiffi
(b) Amplitude ¼ 1208 ¼ 2 =3radians. Modulus ¼ ð 1Þ þð 3Þ ¼ 4 ¼ 2. Then 1 þ 3 3i ¼
2ðcos 2 =3 þ i sin 2 =3Þ¼ 2 cis 2 =3 ¼ 2e 2 i=3
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
2
(c) Amplitude ¼ 1808 ¼ radians. Modulus ¼ ð 1Þ þð0Þ ¼ 1. Then 1 ¼ 1ðcos þ i sin Þ¼
cis ¼ e i
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
2
ffiffiffi
p
p
ffiffiffi
(d) Amplitude ¼ 2408 ¼ 4 =3radians. Modulus ¼ ð 2Þ þð 2 3Þ ¼ 4. Then 2 2 3 ¼
4ðcos 4 =3 þ i sin 4 =3Þ¼ 4 cis 4 =3 ¼ 4e 4 i=3