Page 344 - Flexible Robotics in Medicine

Force sensing in compact concentric tube mechanism with optical fibers 335

z 5 L 1 1 L 2 , where L 2 5 rsinα.
z 5 L 1 1 r sinα: (14.1)

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
t 5 x 1 y : (14.2)
2
2
!
x
θ 2 5 tan 21
y
(14.3)
!
x
θ 2 5 arctan2 :
y
h 5 rα: (14.4)

t 5 r 2 r cos α: (14.5)
Substituting (14.5) into (14.2) gives us α:

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
x 1 y 5 r 2 r cos α;
2
!
1 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi (14.6)
2
α 5 cos 21 1 2 x 1 y 2 :
r
Then substituting (14.6) into (14.1) gives us L 1 :
" !#
1 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z 5 L 1 1 rsin cos 21 1 2 x 1 y 2 ;
2
r
(14.7)
s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2

2
2
L 1 5 z 2 r 1 2 12 1 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi :
x 1y
r
Substituting (14.6) into (14.4) will give us h:
1 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
h 5 r cos 21 1 2 x 1 y 2 : (14.8)
r
Manipulating (14.8) further,
!
h 1 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
2
cos 5 1 2 x 1 y ;
r r
s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
!
2
h p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sin 56 1 2 12 1 x 1y 2 :
2
r r