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CONTENTS vii

4.6. Line and Plane in Space .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 124
4.6.1. Planein Space .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.6.2. Line in Space .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 131
4.6.3. Mutual Arrangement of Points, Lines, and Planes . . . . . ... .. .. .. .. .. .. .. .. 135
4.7. Quadric Surfaces (Quadrics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.7.1. Quadrics (Canonical Equations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.7.2. Quadrics (General Theory) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 148
References for Chapter 4 . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 153

5. Algebra .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 155
5.1. Polynomials and Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.1.1. Polynomials and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.1.2. Linear and Quadratic Equations .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 157
5.1.3. Cubic Equations .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 158
5.1.4. Fourth-Degree Equation . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1.5. Algebraic Equations of Arbitrary Degree and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . 161
5.2. Matrices and Determinants . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 167
5.2.1. Matrices .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 167
5.2.2. Determinants .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 175
5.2.3. Equivalent Matrices. Eigenvalues .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 180
5.3. Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.1. Concept of a Linear Space. Its Basis and Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.2. Subspaces of Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.3.3. Coordinate Transformations Corresponding to Basis Transformations in a Linear
Space .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 191
5.4. Euclidean Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.4.1. Real Euclidean Space .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 192
5.4.2. Complex Euclidean Space (Unitary Space) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.4.3. Banach Spaces and Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.5. Systems of Linear Algebraic Equations .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 197
5.5.1. Consistency Condition for a Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.5.2. Finding Solutions of a System of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.6. Linear Operators . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 204
5.6.1. Notion of a Linear Operator. Its Properties . .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 204
5.6.2. Linear Operators in Matrix Form . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 208
5.6.3. Eigenvectors and Eigenvalues of Linear Operators . .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 209
5.7. Bilinear and Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.7.1. Linear and Sesquilinear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.7.2. Bilinear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.7.3. Quadratic Forms . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.7.4. Bilinear and Quadratic Forms in Euclidean Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.7.5. Second-Order Hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.8. Some Facts from Group Theory .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.8.1. Groups and Their Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.8.2. Transformation Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.8.3. Group Representations .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
References for Chapter 5 . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 233