Page 175 - PRINCIPLES OF QUANTUM MECHANICS as Applied to Chemistry and Chemical Physics

166 The hydrogen atom

1 1
2
[S ël (r)] r dr ˆ (6:38)
0 2ë
Combining equation (6.38) with (6.37), we obtain

1
1
S ël (r)S ë9l (r)r dr ˆ ä ëë9 (6:39)
0 2ë

Evaluation of the constants a ël and b ël
To evaluate the numerical constant a ël , which is de®ned in equation (6.32), we
square both sides of (6.32), multiply through by r, and integrate with respect to
r to obtain

1 1
^
^
2
r(A ë S ël )(A ë S ël )dr ˆ a 2 (S ëÿ1,l ) r dr (6:40)
ël
0 0
^
Application of equation (6.27) with f ˆ rA ë S ël and g ˆ S ël to the left-hand
side and substitution of equation (6.38) on the right-hand side give

1
^
2
^
S ël B ë (rA ë S ël )dr ˆ a =2(ë ÿ 1) (6:41)
ël
0
^
^
The expression B ë (rA ë S ël ) may be simpli®ed as follows

d r
^
^
^
^
B ë (rA ë S ël ) ˆ r (rA ë S ël ) ‡ÿ ‡ ë rA ë S ël
dr 2

d r
^
^
^
ˆ rA ë S ël ‡ r 2 (A ë S ël ) ‡ r ÿ ‡ ë A ë S ël
dr 2
^ ^ ^
ˆ rA ë S ël ‡ rB ë A ë S ël
ˆ ra ël S ëÿ1,l ‡ [ë(ë ÿ 1) ÿ l(l ‡ 1)]rS ël
where equations (6.26b), (6.32), and (6.29) have been used. When this result is
substituted back into (6.41), we have

1 1
2
2
S ël S ëÿ1,l r dr ‡ [ë(ë ÿ 1) ÿ l(l ‡ 1)] S r dr ˆ a =2(ë ÿ 1) (6:42)
a ël
ël ël
0 0
According to equation (6.39), the ®rst integral vanishes and the second integral
ÿ1
equals (2ë) , giving the result

ë ÿ 1
2
a ˆ [ë(ë ÿ 1) ÿ l(l ‡ 1)]
ël ë

ë ÿ 1
ˆ (ë ‡ l)(ë ÿ l ÿ 1) (6:43)
ë
Substitution into (6.32) gives