Page 247 - Principles and Applications of NanoMEMS Physics

B. BOSONIZATION 237

§ ∞ ·
1 n
∞ ¨ − ¨ ¦ y ρ n ¸ ¸
¦ y n c −n 0 0 = e © =1n n ¹ c 0 0 0 , where y ≡ e i 2 x π / L , and ρ n ≡ ¦ n + +n c n
c
n =0 n ∈Z
ª § 1 1 · §1 1 1 · º
= 1 − yρ + y 2 ¨− ρ 2 + ρ 2 ¸ + y 3 ¨ ρ + ρ ρ 2 − ρ 3 ¸ +... c 0 0 . (B.41)
«
3
1
1
» 0
1
1
¬ © 2 2 ¹ © 3 2 6 ¹ ¼
= ¦ [ yA n n c −n +B n y n +2 (c + n +1 c −1 ) +Cc 0 n y n +3 (c + n +1 c −2 ) +...c 0 ] 0 0
From (B.41) it is observed that the only nonzero coefficients in it are
A = 1, whereas all others, namely, B = C = ... = 0 . This signifies that
n n n
i − ϕ + ()
x
whenever e acts on c 0 , all the possible ways in which states of
0 0
+
the form c c c 0 may be excited interfere destructively, so that only
n − n 0 0
terms of the form y n c − n 0 interfere constructively. This can be seen by
0
considering (B.41) after inserting the sums ρ . In that case for the A
n n
coefficient one obtains,
∞ ­ 2 ª 1 1 ) º
+
A y n c 0 = 1 ® − y ( cc + )+ y − ( cc + ) ( cc + )( cc +
¦ n −n 0 0 1 − « 0 − 2 − 1 − 2 0 − 1 »
n = 0 ¯ ¬ 2 2 ¼
3ª 1 + 1 + + 1 + + + º ½
−
+
) +
+ y « − ( cc 0 3 − ) ( cc − 2 − 3 )( cc 0 − 2 ) ( cc − 2 − 3 )( cc − 1 − 2 )( cc 0 − 1 » ... ¾ c 0 0 , (B.42)
¬ 3 2 6 ¼ ¿ 0
½
= ­ 1 ® + yc 1 − + y 2 1 ª « + 1º c 2 + y 3 1 ª « + 1 + 1º » − 3 + ... ¾ 0
c
» −
¯ 2 ¬ 2¼ 3 ¬ 2 6¼ ¿ 0
whereas for the B one obtains,
n
∞ ­ 2 ª 1 1 º
)
¦ B n y n + 2 ( cc n + − 1 )c 0 0 0 = ® y « − ( cc 1 + − 1 )+ ( cc 1 + 0 )( cc 0 + − 1 »
n = 0 ¯ ¬ 2 2 ¼
3 ª 1 + 1 + + 1 + + + º ½ . (B.43)
+ y − ( cc )+ ( )( cccc )− ( )( cccc )( cc ) + ... ¾ c 0
« 2 − 1 2 1 1 − 1 2 1 1 0 0 − 1 » 0 0
¬ 3 2 6 ¼ ¿
­ 2 ª 1 1 º + 3 ª 1 1 1 º + ½
= ® y « − + » ( cc 1 − 1 )+ y « − + − » ( cc 2 − 1 ) ... ¾ 0
+
¯ ¬ 2 2 ¼ ¬ 3 2 6 ¼ ¿ 0