Page 347 - Wind Energy Handbook

RESONANT ROOT BENDING MOMENT 321

Defining M 1 (t) as the fluctuating root bending moment due to wind excitation of
the first mode, we have
ð ð ð
R R R
2
2
M 1 (t) ¼ m(r)€ x 1 (t, r)r dr ¼ m(r)ø x 1 (t, r)r dr ¼ ø f 1 (t) m(r)ì 1 (r)r dr
x
1 1
0 0 0
(A5:26)
Hence the standard deviation of M 1 (t),
ð R
2
ó M1 ¼ ø ó x1 m(r)ì 1 (r)r dr (A5:27)
1
0
The steady root bending moment,
ð R ð R
2
2
1
M ¼ 1 rU C f c(r)r dr ¼ rU C f c(r)r dr (A5:28)
2 2
0 0
Hence the ratio
ð
R
2
ø ó x1 m(r)ì 1 (r)r dr
1
ó M1 0
¼ ð (A5:29)
M R
1 2
2 rU C f c(r)r dr
0
Substituting the expression for ó x1 from Equation (A5.22), we obtain
ó M1
¼
M
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð ð
ð n 1 S u (n 1 ) R R R
2
ø rUC f p ffiffiffiffiffiffi m(r)ì 1 (r)r dr exp[ Cjr r9jn 1 =U]c(r)c(r9)ì 1 (r)ì 1 (r9)dr dr9
1
2ä k 1 0 0 0
ð R
1 2 c(r)r dr
2 rU C f
0
(A5:30)
2
2
Noting that R u (n) ¼ nS u (n)=ó , and that k 1 ¼ m 1 ø , this simplifies to
u
1
ð R
m(r)ì 1 (r)r dr
ð p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ó M1 ó u 0
¼ 2 p ffiffiffiffiffiffi R u (n) ð
M U 2ä R
m 1 c(r)r dr
0
s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð ð
R R
exp [ Cjr r9jn 1 =U]c(r)c(r9)ì 1 (r)ì 1 (r9)dr dr9 (A5:31)
0 0