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CONTENTS xxi

T5. Ordinary Differential Equations .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 1207
T5.1. First-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207
T5.2. Second-Order Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212
T5.2.1. Equations Involving Power Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213
T5.2.2. Equations Involving Exponential and Other Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220
T5.2.3. Equations Involving Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222
T5.3. Second-Order Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223

T5.3.1. Equations of the Form y xx = f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223
T5.3.2. Equations of the Form f(x, y)y = g(x, y, y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225

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x
References for Chapter T5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228
T6. Systems of Ordinary Differential Equations .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 1229
T6.1. Linear Systems of Two Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229
T6.1.1. Systems of First-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229
T6.1.2. Systems of Second-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232
T6.2. Linear Systems of Three and More Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237
T6.3. Nonlinear Systems of Two Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239
T6.3.1. Systems of First-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239
T6.3.2. Systems of Second-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1240
T6.4. Nonlinear Systems of Three or More Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244
References for Chapter T6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246
T7. First-Order Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . ... .. .. .. .. .. .. .. .. 1247
T7.1. Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247
T7.1.1. Equations of the Form f(x, y) ∂w + g(x, y) ∂w = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247
∂x ∂y
T7.1.2. Equations of the Form f(x, y) ∂w + g(x, y) ∂w = h(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248
∂x ∂y
T7.1.3. Equations of the Form f(x, y) ∂w + g(x, y) ∂w = h(x, y)w + r(x, y) . . . . . . . . 1250
∂x ∂y
T7.2. Quasilinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252
T7.2.1. Equations of the Form f(x, y) ∂w + g(x, y) ∂w = h(x, y, w) . . . . . . . . . . . . . . . 1252
∂x ∂y
T7.2.2. Equations of the Form ∂w + f(x, y, w) ∂w = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254
∂x ∂y
T7.2.3. Equations of the Form ∂w + f(x, y, w) ∂w = g(x, y, w) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256
∂x ∂y
T7.3. Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258
T7.3.1. Equations Quadratic in One Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258
T7.3.2. Equations Quadratic in Two Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259
T7.3.3. Equations with Arbitrary Nonlinearities in Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1261
References for Chapter T7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265

T8. Linear Equations and Problems of Mathematical Physics . . . ... .. .. .. .. .. .. .. .. 1267
T8.1. Parabolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267
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T8.1.1. Heat Equation ∂w = a ∂ w 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267
∂t ∂x 2
T8.1.2. Nonhomogeneous Heat Equation ∂w = a ∂ w 2 + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268
∂t
∂x
2 ∂w
∂ w
∂w
T8.1.3. Equation of the Form = a 2 + b + cw + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1270
∂t ∂x ∂x 2
T8.1.4. Heat Equation with Axial Symmetry ∂w = a ∂ w 2 + 1 ∂w . . . . . . . . . . . . . . . 1270
∂t
r ∂r
∂r
2 1 ∂w
∂ w
∂w

T8.1.5. Equation of the Form = a 2 + + Φ(r, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1271
∂t ∂r r ∂r 2
T8.1.6. Heat Equation with Central Symmetry ∂w = a ∂ w 2 + 2 ∂w . . . . . . . . . . . . . 1272
r ∂r
∂r
∂t
2

∂r 2 +
T8.1.7. Equation of the Form ∂w = a ∂ w 2 ∂w + Φ(r, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273
∂t 2 r ∂r
T8.1.8. Equation of the Form ∂w = ∂ w 1–2β ∂w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274
∂x 2 +
∂t x ∂x