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xviii CONTENTS

19. Calculus of Variations and Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. .. .. .. .. .. .. .. 991
19.1. Calculus of Variations and Optimal Control . .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 991
19.1.1. Some Definitions and Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. .. .. .. .. .. .. .. 991
19.1.2. Simplest Problem of Calculus of Variations .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 993
19.1.3. Isoperimetric Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002
19.1.4. Problems with Higher Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006
19.1.5. Lagrange Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008
19.1.6. Pontryagin Maximum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010
19.2. Mathematical Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012
19.2.1. Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012
19.2.2. Nonlinear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027

References for Chapter 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028
20. Probability Theory .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031
20.1. Simplest Probabilistic Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031
20.1.1. Probabilities of Random Events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031
20.1.2. Conditional Probability and Simplest Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035
20.1.3. Sequences of Trials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037
20.2. Random Variables and Their Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039
20.2.1. One-Dimensional Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039
20.2.2. Characteristics of One-Dimensional Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042
20.2.3. Main Discrete Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047
20.2.4. Continuous Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051
20.2.5. Multivariate Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057
20.3. Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068
20.3.1. Convergence of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068
20.3.2. Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069
20.4. Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071
20.4.1. Theory of Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071
20.4.2. Models of Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074
References for Chapter 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079

21. Mathematical Statistics .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081
21.1. Introduction to Mathematical Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081
21.1.1. Basic Notions and Problems of Mathematical Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081
21.1.2. Simplest Statistical Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082
21.1.3. Numerical Characteristics of Statistical Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087
21.2. Statistical Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088
21.2.1. Estimators and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088
21.2.2. Estimation Methods for Unknown Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091
21.2.3. Interval Estimators (Confidence Intervals) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093
21.3. Statistical Hypothesis Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094
21.3.1. Statistical Hypothesis. Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094
21.3.2. Goodness-of-Fit Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098
21.3.3. Problems Related to Normal Samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101
References for Chapter 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109