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xxii CONTENTS

T8.1.9. Equations of the Diffusion (Thermal) Boundary Layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276
2 2
∂w ∂ w
T8.1.10. Schr¨ odinger Equation i =– 2m ∂x 2 + U(x)w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276
∂t
T8.2. Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278
2 2
T8.2.1. Wave Equation ∂ w 2 ∂ w 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278
2 = a
∂t 2 ∂x 2
T8.2.2. Equation of the Form ∂ w 2 ∂ w 2 + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279
2 = a
∂t 2 ∂x 2
T8.2.3. Klein–Gordon Equation ∂ w 2 = a 2 ∂ w 2 – bw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1280
∂t
∂x
2 2
∂ w
∂x 2 – bw + Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1281
T8.2.4. Equation of the Form ∂t 2 = a 2 ∂ w
2
2

T8.2.5. Equation of the Form ∂ w 2 ∂ w 1 ∂w + Φ(r, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282
∂r 2 +
∂t 2 = a
r ∂r
2
2

T8.2.6. Equation of the Form ∂ w 2 ∂ w 2 + 2 ∂w + Φ(r, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283
2 = a
∂t 2 ∂r r ∂r
2
T8.2.7. Equations of the Form ∂ w 2 + k ∂w = a 2 ∂ w 2 + b ∂w + cw + Φ(x, t) . . . . . . . . . 1284
∂t ∂t ∂x ∂x
T8.3. Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284
T8.3.1. Laplace Equation Δw = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284
T8.3.2. Poisson Equation Δw + Φ(x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287
T8.3.3. Helmholtz Equation Δw + λw =–Φ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289
T8.4. Fourth-Order Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294
2 4
∂ w
T8.4.1. Equation of the Form 2 + a 2 ∂ w 4 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294
∂t 2 ∂x
4
T8.4.2. Equation of the Form ∂ w 2 ∂ w 4 = Φ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295
2 + a
∂t ∂x
T8.4.3. Biharmonic Equation ΔΔw = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297
T8.4.4. Nonhomogeneous Biharmonic Equation ΔΔw = Φ(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . 1298
References for Chapter T8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299
T9. Nonlinear Mathematical Physics Equations .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. 1301
T9.1. Parabolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1301
2
∂ w
∂w
T9.1.1. Nonlinear Heat Equations of the Form = ∂x 2 + f(w) . . . . . . . . . . . . . . . . 1301
∂t
T9.1.2. Equations of the Form ∂w = ∂ f(w) ∂w + g(w) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303
∂t ∂x ∂x
T9.1.3. Burgers Equation and Nonlinear Heat Equation in Radial Symmetric Cases . . 1307
T9.1.4. Nonlinear Schr¨ odinger Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309
T9.2. Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312
2 2
∂x 2 + f(w) . . . . . . . . . . . . . . 1312
T9.2.1. Nonlinear Wave Equations of the Form ∂ w ∂ w
∂t 2 = a
T9.2.2. Other Nonlinear Wave Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316
T9.3. Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318
2 ∂ w
2
∂ w
T9.3.1. Nonlinear Heat Equations of the Form ∂x 2 + ∂y 2 = f(w) . . . . . . . . . . . . . . . . 1318
T9.3.2. Equations of the Form ∂ f(x) ∂w + ∂ g(y) ∂w = f(w) . . . . . . . . . . . . . . 1321
∂x ∂x ∂y ∂y
T9.3.3. Equations of the Form ∂ f(w) ∂w + ∂ g(w) ∂w = h(w) . . . . . . . . . . . . . . 1322
∂x ∂x ∂y ∂y
T9.4. Other Second-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324
T9.4.1. Equations of Transonic Gas Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324
T9.4.2. Monge–Amp` ere Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326
T9.5. Higher-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327
T9.5.1. Third-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327
T9.5.2. Fourth-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332
References for Chapter T9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335
T10. Systems of Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . ... .. .. .. .. .. .. .. .. 1337
T10.1. Nonlinear Systems of Two First-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337
T10.2. Linear Systems of Two Second-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1341