Page 235 - Mathematical Techniques of Fractional Order Systems

224 Mathematical Techniques of Fractional Order Systems

Now,
2
I 1 5 E 1 Ð t ðt2sÞ α21 BðsÞu ðsÞ2BðsÞu ðsÞ ds

m
0
ΓðαÞ 0

3 2
1
2
p21 αp21 ð t
1 p21 p p p p
0
m
# 4 b E BðsÞu ðsÞ2BðsÞu ðsÞ ds 5

2 αp21
Γ ðαÞ 0
2p22 2αp22

1 p21 p p m 0 2
# b :BðsÞu 2BðsÞu : p
2 αp21 L ðJ;UÞ
Γ ðαÞ
5 E Ð t m 0 2
I 2 ½fðs; z 1y s Þ2fðs; z 1y s ފds
0 s s
Ð t m 0 2
# b E fðs; z 1y s Þ2fðs; z 1y s Þ ds

0 s s
Ð t m 0 2
# bM f ðρÞ Oz 2 z O ds;
0 s s C h
2
I 3 5 E 1 Ð t ðt2sÞ α21 Ð s ½σðτ; z 1y τ Þ2σðτ; z 1y τ ފdWðτÞ ds
0
m

τ
τ
ΓðαÞ 0 2N
α ð t ð s 2
b m 0
E
# ðt2sÞ α21 ½σðτ; z 1y τ Þ2σðτ; z 1y τ ފdWðτÞ ds

2 τ τ
αΓ ðαÞ 0 2N
2α α ð t
2b M R 2b TrðQÞM σ ðρÞ α21 m 0 2
# 1 ðt2sÞ Oz 2 z O ds
s
2
2
Γ ðα 1 1Þ αΓ ðαÞ 0 s C h
2

I 4 5 E Ð t S ðt2sÞ 1 Ð s ðs2τÞ α21 BðτÞu ðτÞ2BðτÞu ðτÞ dτ ds
m
0

0
0 ΓðαÞ 0
2p22 2αp22
t
Oϕ O 2 ð p p
# A p21 b m 0 2 ds
2
L
Γ ðαÞ 0 αp21 :BðsÞu 2BðsÞu : p ðJ;UÞ
I 5 5 E Ð t S ðt2sÞ Ð s ½fðτ; z 1y τ Þ2fðτ; z 1y τ ފdτ ds 2
m

0
0
0 0 τ τ
t
2 Ð Ð s m 0 2
# Oϕ O bM f ðρÞ Oz 2 z O dτds
A 0 0 τ τ C h
"
1
ð s
Ð
t 0 α21
I 6 5E S ðt2sÞ ðs2τÞ
0
ΓðαÞ 0
# 2
Ð τ
3 m 0
η
η
2N ½σðη;z 1y η Þ2σðη;z 1y η ފdWðηÞ dτ ds

t
2 2α12
2 α11
2Oϕ O b 2Oϕ O b TrðQÞM σ ðρÞ ð ð s
m
0 2
# A 1 A ðs2τÞ α21 Oz 2z O dτds:
τ
2
2
Γ ðα11Þ αΓ ðαÞ 0 0 τ C h