Page 231 - Mathematical Techniques of Fractional Order Systems

220 Mathematical Techniques of Fractional Order Systems

then
2

2 2 1 Ð t α21
ΓðαÞ 0 ðt2sÞ BðsÞuðsÞds
EjzðtÞj # 8Ejφð0Þj 1 8E

2
1 8E Ð t fðs; z s 1y s Þds 1 8E Ð t S ðt2sÞφð0Þds 2
0

0 0
2

1 Ð t α21 Ð s

1 8E ΓðαÞ 0 ðt2sÞ 2N σðτ; z τ 1y τ ÞdWðτÞ ds

2
!

Ð t Ð s
0 1 α21
S ðt2sÞ ðs2τÞ
0 ΓðαÞ 0
1 8E BðτÞuðτÞdτ ds

2
1 8E Ð t S ðt2sÞ Ð s fðτ; z τ 1y τ Þdτ ds
0
0 0
! 2

Ð t Ð s Ð τ
0 1 α21
S ðt2sÞ ðs2τÞ
0 ΓðαÞ 0 2N σðη; z η 1y η ÞdWðηÞ dτ ds
1 8E

2αp22 ! 2p22
8OBO 2 p p
p21
2
# 8Ejφð0Þj 1 2 b αp21 OuO 2 L p ðJ;UÞ
Γ ðαÞ
α ð t
Ð t 2 8b α21
1 8b nðsÞΛ f ðOz s 1 y s O Þds 1 ðt2sÞ
0 C h 2
αΓ ðαÞ 0
Ð s 2 2 2 2
3 2M R 1 2TrðQÞ Ejσðτ; z τ 1 y τ Þj dτ ds 1 8b Oϕ O 1 Ejφð0Þj
0 A L
2αp22 ! 2p22
2 2 ð t p
8bOBO Oϕ O 1 p p21 2
A L
1 2 b αp21 OuO L p ðJ;UÞ ds ð7:19Þ
Γ ðαÞ 0
t
2 2 Ð Ð s 2
A L
1 8b Oϕ O 1 0 0 Ejfðτ; z τ 1 y τ Þj dτds
t
2
8Oϕ O 1 b α11 ð ð s ð τ 2
E
1 A L ðs2τÞ α21 σðη; z η 1y η ÞdWðηÞ dτds

2
αΓ ðαÞ 0 0 2N
2αp22 ! 2p22
8OBO 2 p p21 p
2
# 8Ejφð0Þj 1 2 b αp21 OuO 2 L p ðJ;UÞ
Γ ðαÞ
2α
Ð t 2 16b M R
1 8b nðsÞΛ f ðOz s 1 y s O Þds 1
0 C h 2
Γ ðα 1 1Þ
α ð t
16b TrðQÞ α21 2
1 2 ðt2sÞ mðsÞΛ σ ðOz s 1 y s O Þds
C h
αΓ ðαÞ 0
2αp22 ! 2p22
2
2
8b Oϕ O 1 OBO 2 p p21 p
2
2
2
1 8b Oϕ O 1 Ejφð0Þj 1 A L b αp21 OuO 2 L p ðJ;UÞ
A L
2
Γ ðαÞ
2
A L
3
2
1 8b Oϕ O 2 Ð t nðsÞΛ f ðOz s 1 y s O Þds 1 16Oϕ O 1 b 2α12 M R
A L 1 0 C h 2
Γ ðα 1 1Þ
2
16Oϕ O 1 b 2α11 TrðQÞ ð t
2
1 A L mðsÞΛ σ ðOz s 1 y s O Þds:
2
C h
Γ ðα 1 1Þ 0