Page 228 - Mathematical Techniques of Fractional Order Systems

Controllability of Single-valued Chapter | 7 217

2

2 1 Ð α21 α21
t 1 2E
ð

ΓðαÞ 0
E ðΠ 1 zÞðt 2 Þ2ðΠ 1 zÞðt 1 Þ #7E ð t 2 2sÞ 2 t 1 2sÞ BðsÞuðsÞds

2

1 Ð t 1 α21 α21

ð
17E ΓðαÞ t 1 2E ð t 2 2sÞ 2 t 1 2sÞ BðsÞuðsÞds

2

2
1 Ð t 2 α21 Ð t 2

ð t 2 2sÞ
17E BðsÞuðsÞds 17E fðs;z s 1y s Þds
ΓðαÞ t 1 t 1

2

t 1 2E
1 Ð α21 α21 Ð s
ð
ΓðαÞ 0 ð t 2 2sÞ 2 t 1 2sÞ 2N σðτ;z τ 1y τ ÞdWðτÞ ds
17E

2

1 Ð t 1 α21 α21 Ð s
ð
ΓðαÞ t 1 2E ð t 2 2sÞ 2 t 1 2sÞ 2N σðτ;z τ 1y τ ÞdWðτÞ ds
17E

2

1 Ð t 2 α21 Ð s
ð t 2 2sÞ
17E
ΓðαÞ t 1 2N σðτ;z τ 1y τ ÞdWðτÞ ds

7ðt 1 2EÞOBO 2 t 1 2E 2
ð
# 2 ð t 2 2sÞ α21 2 t 1 2sÞ α21 2
E uðsÞ ds
ð
Γ ðαÞ 0
7EOBO 2 t 1 2
ð
1 2 ð t 2 2sÞ α21 2 t 1 2sÞ α21 2
E uðsÞ ds
ð
Γ ðαÞ t 1 2E
α
7 t 2 2t 1 Þ OBO 2 t 2 2 ð t 2 2
ð
ð
1 2 ð t 2 2sÞ α21 E fðs;z s 1y s Þ ds
E uðsÞ ds17ðt 2 2t 1 Þ

αΓ ðαÞ t 1 t 1
ð t 12E ð s 2
7ðt 1 2EÞ α21
E
1 ð t 2 2sÞ 2 t 1 2sÞ α21 2 σðτ;z τ 1y τ ÞdWðτÞ ds
ð

2
Γ ðαÞ 0 2N
7E ð t 1 ð s 2
E
1 ð t 2 2sÞ α21 2 t 1 2sÞ α21 2 σðτ;z τ 1y τ ÞdWðτÞ ds
ð

2
Γ ðαÞ t 1 2E 2N
ð 2
α ð t 2 s
ð
7 t 2 2t 1 Þ
E
1 ð t 2 2sÞ α21 σðτ;z τ 1y τ ÞdWðτÞ ds

2
αΓ ðαÞ t 1 2N
as t 2 -t 1 and E sufficiently small, the right-hand side of the above inequality
tends to zero. By the Arzela Ascoli theorem it suffices to show that Π 1
maps B q into a precompact sets in H. Let 0 , t , b be fixed and let E be a
real number satisfying 0 , E , t.For zAB q , define
t2E ð t2E
ð
1 α21
ðΠ 1E zÞðtÞ 5 φð0Þ 1 ð t2E2sÞ BðsÞuðsÞds 1 fðs; z s 1 y s Þds
ΓðαÞ 0 0
1 ð t2E ð s
1 ð t2E2sÞ α21 σðτ; z τ 1 y τ ÞdWðτÞ ds:
ΓðαÞ 0 2N
Note that, the set
( t2E t2E
1 ð ð
φð0Þ 1 ðt2E2sÞ α21 BðsÞuðsÞds 1 fðs; z s 1 y s Þds
ΓðαÞ 0 0
)
1 ð t2E ð s
1 ðt2E2sÞ α21 σðτ; z τ 1 y τ ÞdWðτÞ ds
ΓðαÞ 0 2N