Page 293 - PRINCIPLES OF QUANTUM MECHANICS as Applied to Chemistry and Chemical Physics

284 Appendix A

Schwarz's inequality
2

2
2

ja(x)j dx jb(x)j dx > a (x)b(x)dx (A:55)

2 2 2 1 2
For z ˆ x ‡ iy, jzj > jIm zj ; since Im z ˆ z ÿ z =2i, jzj > jz ÿ z j
4
2

2
2

ja(x)j dx : jb(x)j dx > 1 [a (x)b(x) ÿ a(x)b (x)] dx (A:56)
4
Vector relations
:
A B ˆ AB cos è (A:57)
jA 3 Bjˆ AB sin è (A:58)
è is the angle between A and B
Spherical coordinates (r, è, j)
x ˆ r sin è cos j, y ˆ r sin è sin j, z ˆ r cos è (A:59)
2
dô ˆ r sin è dr dè dj (A:60)
2
1 @ @ø 1 @ @ø 1 @ ø
2 2 sin è
= ø ˆ 2 r ‡ 2 ‡ 2 2 2 (A:61)
r @r @r r sin è @è @è r sin è @j
Plane polar coordinates (r, j)
x ˆ r cos j, y ˆ r sin j (A:62)

2
1 @ @ø 1 @ ø
2
= ø ˆ r ‡ (A:63)
2
r @r @r r @j 2