Page 115 - Schaum's Outline of Theory and Problems of Advanced Calculus

106 INTEGRALS [CHAP. 5

3
1
1
Method 2: Let x ¼ u as in Method 1. Now when x ¼ 1, u ¼ ; and when x ¼ 1, u ¼ . Thus
2 2 2
by Formula 25, Page 96.
ð 1 dx ð 1 dx ð 1=2 du 1=2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ sin 1 u
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ p
1 ðx þ 2Þð3 xÞ 1 1 2 3=2 25=4 u 2 5=2 3=2
2
25=4 ðx Þ
¼ sin :2 þ sin 1 :6
1
du
x
(d)Let 2 1 x ¼ u. Then 2 1 x ðln 2Þdx ¼ du and 2 dx ¼ ,sothat the integral becomes
2ln 2
1 ð 1 1 x
ln cosh 2 þ c
tanh udu ¼
2ln2 2ln 2
1 2xdx
2
(e) Let sin 1 x ¼ u. Then du ¼ q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2xdx ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi and the integral becomes
2 2 1 x 4
1 ðx Þ
1 ð 1 2 1 1 2 2
udu ¼ u þ c ¼ ðsin x Þ þ c
2 4 4
p ffiffi
p ffiffi
1= 2 x sin x 1 1 1 1
ð 1 2 1= 2 2 2
Thus p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ ðsin 1 x Þ ¼ sin ¼ :
2 2
0 1 x 4 4 0 4 2 144
xdx 1 2x þ 1 1 1 2x þ 1 1 dx
ð ð ð
ð f Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
2
2
2
x þ x þ 1 2 x þ x þ 1 2 x þ x þ 1 2 x þ x þ 1
1 ð 2 1=2 2 1 ð dx
2 2 1 2 3
¼ ðx þ x þ 1Þ dðx þ x þ 1Þ q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 4
ðx þ Þ þ
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 2
3
2 1 1 ðx þ Þ þ jþ c
2 2 2 4
¼ x þ x þ 1 ln jx þ þ
ð 2 dx 1
5.15. Show that ¼ .
2 3=2 6
1 ðx 2x þ 4Þ
2 dx
ð
2
Write the integral as . p ffiffiffi p ffiffiffi 3 sec udu. When x ¼ 1,
2 3=2 Let x 1 ¼ 3 tan u, dx ¼
1 ½ðx 1Þ þ 3Š p ffiffiffi
u ¼ tan 1 0 ¼ 0; when x ¼ 2, u ¼ tan 1 1= 3 ¼ =6. Then the integral becomes
3 sec udu 3 sec udu 1 cos udu ¼ sin u 1
ð =6 p ffiffiffi 2 ð =6 p ffiffiffi 2 ð =6 =6
1
2 3=2 ¼ 2 3=2 ¼ 3 ¼ 6
0 ½3 þ 3tan uŠ 0 ½3 sec uŠ 3 0 0
ð 2 dx
e
5.16. Determine .
3
e xðln xÞ
2
Let ln x ¼ y, ðdxÞ=x ¼ dy. When x ¼ e, y ¼ 1; when x ¼ e , y ¼ 2. Then the integral becomes

dy y 3
ð 2 2 2
¼
3
¼
1 y 2 1 8
ð
n
5.17. Find x ln xdx if (a) n 6¼ 1, (b) n ¼ 1.