Page 312 - Calculus Demystified

Chapter 5
Now this equals 299

1 2 1 2
lim · ln |− 3 − (|+ ln ( − · ln 5 + ln 2 + etc.
(→0 + 3 3 3 3

The second limit does not exist, so the original integral does not
converge.

5. We do (a), (b), (c), (d).
−3x N
∞ e
(a) e −3x dx = lim e −3x dx = lim
1 N→+∞ N→+∞ −3 1
−3N −3 −3
e e e
= lim − = .
N→+∞ −3 −3 3
N
∞
2 −x
2 −x
(b) x e dx = lim x e dx
2 N→+∞ 2

−x 2 −x −x N

= lim −e x − 2xe − 2e 2
N→+∞

−N 2 −N −N
= lim −e N − 2Ne − 2e
N→+∞
−2 2 −2 −2
− −e 2 − 2 · 2 · e − 2e
= e −2 2 −2 + 2e −2 .
2 + 4e
1 N
∞
(c) x ln xdx = lim x ln xdx + lim x ln xdx
0 (→0 + ( N→+∞ 1
1
= lim [x ln x − x] + lim [x ln x − x] N
1
(
+
(→ N→+∞
= lim [(1 · ln 1 − 1) − (( · ln ( − ()]
(→0 +
+ lim [(N · ln N − N) − (1ln 1 − 1)]
N→+∞
= lim [−1 + (] + lim [N ln N − N + 1]
(→0 + N→+∞
= lim [N ln N − N]. This last limit diverges, so
N→+∞
the integral diverges.
N
∞ dx dx
(d) 2 = lim 2 = lim [arctan x] N
1
1 1 + x N→+∞ 1 1 + x N→+∞
π π π
= lim (arctan N − arctan 1) = − = .
N→+∞ 2 4 4