Page 150 - PRINCIPLES OF QUANTUM MECHANICS as Applied to Chemistry and Chemical Physics

5.3 Application to orbital angular momentum 141
^ ^ ^
L ‡ L x ‡ iL y
(5:36)
^ ^ ^
L ÿ L x ÿ iL y
^
^
and are identi®ed with the ladder operators J ‡ and J ÿ of Section 5.2. Substi-
tution of (5.31a) and (5.31b) into (5.36) yields

^ ij @ ‡ i cot è @ (5:37a)
L ‡ ˆ "e
@è @j

^ ÿij ÿ @ ‡ i cot è @ (5:37b)
L ÿ ˆ "e
@è @j
where equation (A.31) has been used. When applied to orbital angular
momentum, equations (5.27) take the form
^ p  (5:38a)
(l ÿ m)(l ‡ m ‡ 1) "Y l,m‡1 (è, j)
L ‡ Y lm (è, j) ˆ
p 
^
L ÿ Y lm (è, j) ˆ (l ‡ m)(l ÿ m ‡ 1) "Y l,mÿ1 (è, j) (5:38b)
For the case where m is equal to its minimum value, m ˆÿl, equation
(5.38b) becomes
^
L ÿ Y l,ÿl (è, j) ˆ 0
or

@ @
ÿ ‡ i cot è Y l,ÿl (è, j) ˆ 0
@è @j
when equation (5.37b) is introduced. Substitution of Y l,ÿl (è, j) from equation
(5.34) gives

@ @ ÿilj @ ÿilj
ÿ ‡ i cot è È l,ÿl (è)e ˆ ÿ ‡ l cot è È l,ÿl (è)e ˆ 0
@è @j @è
Dividing by e ÿilj , we obtain the differential equation
l cos è l
dln È l,ÿl (è) ˆ l cot è dè ˆ dè ˆ d sin è ˆ l d ln sin è
sin è sin è
which has the solution
l
È l,ÿl (è) ˆ A l sin è (5:39)
where A l is the constant of integration.

Normalization of Y l,ÿl (è, j)
Following the usual custom, we require that the eigenfunctions Y lm (è, j)be
normalized, so that