Page 154 - PRINCIPLES OF QUANTUM MECHANICS as Applied to Chemistry and Chemical Physics

5.3 Application to orbital angular momentum 145
^
We then operate on this result with L ‡ to obtain
!
@ @ ÿi(lÿ1)j
2l
^ 2 2 ij ‡ i cot è e d sin è
L Y l,ÿl ˆÿc l " e
‡ @è @j sin lÿ1 è d(cos è)

d 1 d
2l
2 ÿi(lÿ2)j)
ˆÿc l " e ‡ (l ÿ 1) cot è sin è
dè sin lÿ1 è d(cos è)
2 ÿi(lÿ2)j
2l
ˆ c l " e 1 d 2 sin è
sin lÿ2 è d(cos è) 2
^
After k such applications of L ‡ to the function Y l,ÿl (è, j), we have
1 d k
^ k k ÿi(lÿk)j sin è
2l
L Y l,ÿl ˆ (ÿ") c l e
sin è d(cos è)
‡ lÿk k
If we set k ˆ l ‡ m in this expression, we obtain the desired result
^ l‡m Y l,ÿl ˆ (ÿ") l‡m c l e imj sin è d l‡m sin è (5:49)
2l
m
L
d(cos è)
‡ l‡m
The general expression for Y lm (è, j) is obtained by substituting equation
(5.49) into (5.47) with c l given by equation (5.48)
s 
(ÿ1) l‡m (2l ‡ 1) (l ÿ m)! imj m d l‡m 2l
Y lm (è, j) ˆ e sin è sin è
l
2 l! 4ð (l ‡ m)! d(cos è) l‡m
(5:50)
When Y lm (è, j) is decomposed into its two normalized factors according to
equations (5.35) and (5.40), we have
s 
(ÿ1) l‡m (2l ‡ 1) (l ÿ m)! m d l‡m 2l
È lm (è) ˆ sin è sin è (5:51)
l
2 l! 2 (l ‡ m)! d(cos è ) l‡m
1 imj
Ö m (j) ˆ p  e (5:52)
2ð
The spherical harmonics for l ˆ 0, 1, 2, 3 are listed in Table 5.1. We note
that the function È l,ÿm (è) is related to È lm (è)by
m
È l,ÿm (è) ˆ (ÿ1) È lm (è) (5:53)

and that the complex conjugate Y (è, j) is related to Y lm (è, j)by
lm
m
Y (è, j) ˆ (ÿ1) Y l,ÿm (5:54)
lm
^
^ 2
Because both L and L z are hermitian, the spherical harmonics Y lm (è, j)
form an orthogonal set, so that
2ð ð

Y (è, j)Y lm (è, j) sin è dè dj ˆ ä ll9 ä mm9 (5:55)
l9m9
0 0