Page 155 - PRINCIPLES OF QUANTUM MECHANICS as Applied to Chemistry and Chemical Physics

146 Angular momentum

Table 5.1. Spherical harmonics Y lm (è, j) for l ˆ 0, 1, 2, 3
1=2 1=2
1 7
3
Y 00 ˆ Y 30 ˆ (5 cos è ÿ 3 cos è)
4ð 16ð
1=2 1=2
3 21 2 ij
Y 10 ˆ cos è Y 3, 1 ˆ sin è(5 cos è ÿ 1)e
4ð 64ð
1=2 1=2
3 ij 105 2 2ij
Y 1, 1 ˆ sin è e Y 3, 2 ˆ sin è cos è e
8ð 32ð
1=2 1=2
5 2 35 3 3ij
Y 20 ˆ (3 cos è ÿ 1) Y 3, 3 ˆ sin è e
16ð 64ð
1=2
15
Y 2, 1 ˆ sin è cos è e ij
8ð
1=2
15
2
Y 2, 2 ˆ sin è e 2ij
32ð

If we introduce equation (5.35) into (5.55), we have
ð 2ð

È (è)È lm (è) sin è dè Ö (j)Ö m (j)dj ˆ ä ll9 ä mm9
l9m9
m9
0 0
The integral over the angle j is
2ð 1 2ð 1 2ð

ÿim9j imj i(mÿm9)j
Ö (j)Ö m (j)dj ˆ e e dj ˆ e dj
m9
0 2ð 0 2ð 0
where equation (5.52) has been introduced. Since m and m9 are integers, this
integral vanishes unless m ˆ m9, so that
2ð

Ö (j)Ö m (j)dj ˆ ä mm9 (5:56)
m9
0
from which it follows that
ð

È (è)È lm (è) sin è dè ˆ ä ll9 (5:57)
l9m
0
Note that in equation (5.57) the same value for m appears in both È (è) and
l9m
È lm (è). Thus, the functions È lm (è) and È l9m (è) for l 6ˆ l9 are orthogonal, but
the functions È lm (è) and È l9m9 (è) are not orthogonal. However, for m 6ˆ m9,
the spherical harmonics Y lm (è, j) and Y l9m9 (è, j) are orthogonal because of
equation (5.56).