Page 142 - Schaum's Outline of Theory and Problems of Advanced Calculus
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CHAP. 6]                       PARTIAL DERIVATIVES                              133

                                        @z     @z
                                                 dy even if x and y are dependent variables.
                                        @x     @y
                     6.20. Prove that dz ¼  dx þ
                              Suppose x and y depend on three variables u; v; w,for example. Then
                                            dx ¼ x u du þ x v dv þ x w dw  dy ¼ y u du þ y v dv þ y w dw
                                         ð1Þ                       ð2Þ
                              Thus,      z x dx þ z y dy ¼ðz x x u þ z y y u Þ du þðz x x v þ z y y v Þ dv þðz x x w þ z y y w Þ dw
                                                  ¼ z u du þ z v dv þ z w dw ¼ dz

                           using obvious generalizations of Problem 6.19.

                                  3
                                          3
                     6.21. If T ¼ x   xy þ y , x ¼   cos  , y ¼   sin  , find  (a) @T=@ ,(b) @T=@ .
                                           @T  @T @x  @T @y   2            2
                                           @   ¼  @x @   þ  @y @   ¼ð3x   yÞðcos  Þþ ð3y   xÞðsin  Þ
                                           @T  @T @x  @T @y   2              2
                                           @   ¼  @x @   þ  @y @   ¼ð3x   yÞð   sin  Þþð3y   xÞð  cos  Þ
                              This may also be worked by direct substitution of x and y in T.


                                                                 3
                                                                            2
                                                                        2
                                                  2
                     6.22. If U ¼ z sin y=x where x ¼ 3r þ 2s, y ¼ 4r   2s , z ¼ 2r   3s , find  (a) @U=@r;  ðbÞ @U=@s.
                               @U  @U @x  @U @y  @U @z
                               @r  @x @r  @y @r  @z @r
                           ðaÞ   ¼      þ     þ

                                         y    y            y    1        y
                                     z cos             z cos     ð4Þþ sin
                                         x   x             x  x          x
                                 ¼             2  ð6rÞþ                    ð4rÞ
                                    6ryz   y  4z   y      y
                                        cos     cos  þ 4r sin
                                     x     x  x    x      x
                                 ¼    2     þ
                               @U  @U @x  @U @y  @U @z
                               @s  @x @s  @y @s  @z @s
                           ðbÞ   ¼      þ     þ

                                         y    y            y    1          y
                                                                    2
                                     z cos             z cos     ð 6s Þþ sin
                                 ¼             2  ð2Þþ                       ð 6sÞ
                                         x   x             x  x            x
                                               2
                                    2yz   y  6s z   y      y
                                       cos       cos    6s sin
                                 ¼    2
                                     x    x   x     x      x
                                                          @V     @V     @V     1  @V
                                                              2       2       2       2
                     6.23. If x ¼   cos  , y ¼   sin  ,show that  þ  ¼      þ         .
                                                          @x     @y     @       2  @
                              Using the subscript notation for partial derivatives, we have
                                                V   ¼ V x x   þ V y y   ¼ V x cos   þ V y sin         ð1Þ
                                                V   ¼ V x x   þ V y y   ¼ V x ð   sin  Þþ V y ð   cos  Þ  ð2Þ
                           Dividing both sides of (2)by  ,we have
                                                       1
                                                        V   ¼ V x sin   þ V y cos
                                                                                                      ð3Þ
                           Then from (1) and (3), we have
                                            1
                                         2    2                 2                 2   2   2
                                             V   ¼ðV x cos   þ V y sin  Þ þð V x sin   þ V y cos  Þ ¼ V x þ V y

                                       V   þ  2
                                         2
                     6.24. Show that z ¼ f ðx yÞ, where f is differentiable, satisfies xð@z=@xÞ¼ 2yð@z=@yÞ.
                                  2
                              Let x y ¼ u.  Then z ¼ f ðuÞ. Thus
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