Page 142 - Schaum's Outline of Theory and Problems of Advanced Calculus
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CHAP. 6] PARTIAL DERIVATIVES 133
@z @z
dy even if x and y are dependent variables.
@x @y
6.20. Prove that dz ¼ dx þ
Suppose x and y depend on three variables u; v; w,for example. Then
dx ¼ x u du þ x v dv þ x w dw dy ¼ y u du þ y v dv þ y w dw
ð1Þ ð2Þ
Thus, z x dx þ z y dy ¼ðz x x u þ z y y u Þ du þðz x x v þ z y y v Þ dv þðz x x w þ z y y w Þ dw
¼ z u du þ z v dv þ z w dw ¼ dz
using obvious generalizations of Problem 6.19.
3
3
6.21. If T ¼ x xy þ y , x ¼ cos , y ¼ sin , find (a) @T=@ ,(b) @T=@ .
@T @T @x @T @y 2 2
@ ¼ @x @ þ @y @ ¼ð3x yÞðcos Þþ ð3y xÞðsin Þ
@T @T @x @T @y 2 2
@ ¼ @x @ þ @y @ ¼ð3x yÞð sin Þþð3y xÞð cos Þ
This may also be worked by direct substitution of x and y in T.
3
2
2
2
6.22. If U ¼ z sin y=x where x ¼ 3r þ 2s, y ¼ 4r 2s , z ¼ 2r 3s , find (a) @U=@r; ðbÞ @U=@s.
@U @U @x @U @y @U @z
@r @x @r @y @r @z @r
ðaÞ ¼ þ þ
y y y 1 y
z cos z cos ð4Þþ sin
x x x x x
¼ 2 ð6rÞþ ð4rÞ
6ryz y 4z y y
cos cos þ 4r sin
x x x x x
¼ 2 þ
@U @U @x @U @y @U @z
@s @x @s @y @s @z @s
ðbÞ ¼ þ þ
y y y 1 y
2
z cos z cos ð 6s Þþ sin
¼ 2 ð2Þþ ð 6sÞ
x x x x x
2
2yz y 6s z y y
cos cos 6s sin
¼ 2
x x x x x
@V @V @V 1 @V
2 2 2 2
6.23. If x ¼ cos , y ¼ sin ,show that þ ¼ þ .
@x @y @ 2 @
Using the subscript notation for partial derivatives, we have
V ¼ V x x þ V y y ¼ V x cos þ V y sin ð1Þ
V ¼ V x x þ V y y ¼ V x ð sin Þþ V y ð cos Þ ð2Þ
Dividing both sides of (2)by ,we have
1
V ¼ V x sin þ V y cos
ð3Þ
Then from (1) and (3), we have
1
2 2 2 2 2 2
V ¼ðV x cos þ V y sin Þ þð V x sin þ V y cos Þ ¼ V x þ V y
V þ 2
2
6.24. Show that z ¼ f ðx yÞ, where f is differentiable, satisfies xð@z=@xÞ¼ 2yð@z=@yÞ.
2
Let x y ¼ u. Then z ¼ f ðuÞ. Thus