Page 181 - Schaum's Outline of Theory and Problems of Advanced Calculus

172 VECTORS [CHAP. 7

@ 2
2
2
2
7.32. If ðx; y; zÞ¼ x yz and A ¼ 3x yi þ yz j xzk, find ð AÞ at the point ð1; 2; 1Þ.
@y @z
3
2
2
2
2
2 2 3
4 2
A ¼ðx yzÞð3x yi þ yz j xzkÞ¼ 3x y zi þ x y z j x yz k
@ @ 4 2 2 2 3 3 2 4 2 2 2 2 3
ð3x y zi þ x y z j x yz kÞ¼ 3x y i þ 3x y z j 2x yzk
@z ð AÞ¼ @z
@ 2 @ 4 2 2 2 2 3 4 2 2 3
ð3x y i þ 3x y z j 2x yzkÞ¼ 6x yi þ 6x yz j 2x zk
ð AÞ¼
@y @z @y
If x ¼ 1, y ¼ 2, z ¼ 1, this becomes 12i 12j þ 2k.
2 2 2
7.33. If A ¼ x sin yi þ z cos yj xy k, find dA.
Method 1:
@A 2 @A 2 2 @A
¼ 2x sin yi y k; ¼ x cos yi z sin yj 2xyk; ¼ 2z cos yj
@x @y @z
@A @A @A
dz
@x @y @z
dA ¼ dx þ dy þ
2
2
2
¼ð2x sin yi y kÞ dx þðx cos yi z sin yj 2xykÞ dy þð2z cos yjÞ dz
2
2
2
¼ð2x sin ydx þ x cos ydyÞi þð2z cos ydz z sin ydyÞj ðy dx þ 2xy dyÞk
Method 2:
2
2
2
dA ¼ dðx sin yÞi þ dðz cos yÞj dðxy Þk
2
2
2
¼ð2x sin ydx þ x cos ydyÞi þð2z cos ydz z sin ydyÞj ðy dx þ 2xy dyÞk
GRADIENT, DIVERGENCE, AND CURL
3
2
2
2
7.34. If ¼ x yz and A ¼ xzi y j þ 2x yk, find (a) r ; ðbÞr A; ðcÞr A; ðdÞ div ð AÞ,
(e)curl ð AÞ.
@ @ @ @ @ @ @ @ @

3
2
r ¼ i þ j þ k 2 3 2 3 ðx yz Þk
ðaÞ ¼ i þ j þ k ¼ ðx yz Þi þ ðx yz Þj þ
@x @y @z @x @y @z @x @y @z
2
2 3
3
2
¼ 2xyz i þ x z j þ 3x yz k
@ @ @

r A ¼ i þ j þ k 2 2
@x @y @z
ðbÞ ðxzi y j þ 2x ykÞ
@ @ 2 @ 2
¼ ðxzÞþ ð y Þþ ð2x yÞ¼ z 2y
@x @y @z
@ @ @

r A ¼ i þ j þ k 2 2
@x @y @z
ðcÞ ðxzi y j þ 2x ykÞ

i j k

¼ @=@x @=@y @=@z

2
2
xz y 2x y
@ 2 @ 2 @ @ 2 @ 2 @

¼ ð2x yÞ ð y Þ i þ ðxzÞ ð2x yÞ j þ ð y Þ ðxzÞ k
@y @z @z @x @x @y
2
¼ 2x i þðx 4xyÞj